آموزش برنامه نویسی متلب برای آنالیز اجزای محدود: گامی به سوی حل مسائل مهندسی پیچیده

روش اجزای محدود (FEM) به عنوان یکی از قدرتمندترین ابزارهای عددی برای حل مسائل مهندسی پیچیده، به طور گسترده در رشته های مختلف از جمله عمران، مکانیک، هوافضا و برق کاربرد دارد. نرم افزار متلب به واسطه ی انعطاف پذیری و کتابخانه های قدرتمند خود، محیطی مناسب برای پیاده سازی روش اجزای محدود و انجام تحلیل های مهندسی بر روی سازه ها و سیستم های مختلف فراهم می کند.

در این مقاله، به ارائه راهنمایی جامع برای آموزش برنامه نویسی متلب برای آنالیز اجزای محدود می پردازیم تا دانشجویان مهندسی و علاقه مندان به این حوزه با مفاهیم پایه ای، ابزارها و منابع آموزشی آن آشنا شوند.

مفاهیم پایه ای روش اجزای محدود:

• تقسیم بندی دامنه: در روش اجزای محدود، دامنه ی مساله به اجزای کوچکتر به نام المان تقسیم بندی می شود.
• معادلات حاکم: معادلات دیفرانسیل حاکم بر مساله، به معادلات ماتریسی معادل برای هر المان تبدیل می شوند.
• مونتاژ: معادلات ماتریسی مربوط به تمام المان ها با یکدیگر مونتاژ شده و یک سیستم معادلات خطی بزرگ را تشکیل می دهند.
• حل: سیستم معادلات خطی با استفاده از روش های عددی حل می شود و مقادیر مورد نظر در نقاط مختلف دامنه به دست می آیند.

مزایای استفاده از روش اجزای محدود:

• قابلیت حل مسائل پیچیده: FEM می تواند برای حل مسائلی که هندسه ی پیچیده دارند و یا از معادلات دیفرانسیل غیرخطی در آنها استفاده می شود، به کار رود.
• دقت بالا: با افزایش تعداد المان ها، دقت حل FEM می تواند به طور قابل توجهی افزایش یابد.
• قابلیت انعطاف پذیری: FEM می تواند برای حل طیف گسترده ای از مسائل مهندسی در رشته های مختلف به کار رود.

برنامه نویسی متلب برای آنالیز اجزای محدود:

• کتابخانه های متلب: متلب کتابخانه های مختلفی را برای انجام محاسبات ماتریسی، حل معادلات خطی و رسم نمودار ارائه می دهد که می توان از آنها برای پیاده سازی روش اجزای محدود استفاده کرد.
• توابع سفارشی: علاوه بر کتابخانه های موجود، می توان توابع سفارشی را نیز برای انجام عملیات خاص در تحلیل اجزای محدود برنامه نویسی کرد.
• رابط کاربری گرافیکی: با استفاده از ابزارهای GUI در متلب، می توان رابط کاربری گرافیکی برای برنامه های تحلیل اجزای محدود طراحی کرد.

مراحل کلی انجام تحلیل اجزای محدود با متلب:

1. پیش پردازش: شامل تعریف هندسه ی مساله، تعریف خواص مصالح و اعمال بارگذاری ها و شرایط مرزی.
2. حل: شامل مونتاژ ماتریس ها، حل سیستم معادلات خطی و محاسبه مقادیر مورد نظر.
3. پس پردازش: شامل تجزیه و تحلیل نتایج، رسم نمودارها و تهیه گزارش.

منابع آموزشی برای آموزش برنامه نویسی متلب برای آنالیز اجزای محدود:

• مستندات متلب: متلب برای کتابخانه های مربوط به محاسبات ماتریسی، حل معادلات خطی و رسم نمودار، مستندات کاملی را ارائه می دهد که شامل مثال های آموزشی و توابع مختلف است.
• دوره های آموزشی آنلاین: پلتفرم های آموزشی آنلاینی مانند Coursera، edX و Udemy دوره های آموزشی متعددی را در زمینه ی برنامه نویسی متلب برای آنالیز اجزای محدود ارائه می دهند.
• کتاب ها و مقالات: کتاب ها و مقالات علمی متعددی در زمینه ی روش اجزای محدود و پیاده سازی آن با متلب به زبان فارسی و انگلیسی منتشر شده اند که می توانند منابع مفیدی برای یادگیری این حوزه باشند.

مسیر یادگیری:

• آشنایی با مبانی روش اجزای محدود: برای یادگیری برنامه نویسی متلب برای آنالیز اجزای محدود، لازم است ابتدا با مبانی روش اجزای محدود آشنا باشید. این شامل مفاهیمی مانند تقسیم بندی دامنه، معادلات حاکم، مونتاژ و حل می شود.
• یادگیری زبان برنامه نویسی متلب

آموزش برنامه نویسی متلب برای آنالیز اجزای محدود

به منظور آشنایی بیشتر با برنامه نویسی متلب برای آنالیز اجزای محدود لازم است ابتدا با روش اجزای محدود یا همان المان محدود آشنا شوید. باید ابتدا بیاموزید چگونه آنالیز المان محدود کار می‌کند؟ با مجموعه نرم‌افزارهای FEM آشنا شوید. انواع المان‌های اجزاء محدود را بشناسید. درس اجزاء محدود از دروس اصلی علوم سازه، مکانیک و رشته‌های مربوط به خودرو و حتی رشته‌های هوافضا است. Finite Element یا همان المان محدود که به اختصار FE خوانده می‌شود برای تحلیل مدل به کار می‌رود و مدل را به المان‌ها و گره‌های مشخصی تقسیم می‌کند. دسته‌بندی المان‌ها اغلب به صورت خطی، دو بعدی، سه بعدی یا المان پوسته که هر کدام از این موارد انواع متفاوت دارد انجام می‌شود. در نرم‌‌افزار متلب می‌توان برخی از این المان‌ها را یافت. FEM یا همان متد المان محدود برای ارائه راه‌حل‌های تقریبی از معادلات دیفرانسیل جزئی و حل انتگرال، روش عددی وجود دارد که اگر با ریاضیات آشنایی داشته باشید احتمالا روش حل این معادلات را با نام اجزای محدود می‌شناسید.

برنامه نویسی متلب برای آنالیز اجزای محدود و آشنایی با روش حل معادلات

برای حل معادلات با روش المان محدود راهکاری پیش رو این است که تا حد امکان معادلات دیفرانسیل را حذف کنید یا ساده‌سازی انجام دهیم. باید تلاش کرد که تا رسیدن به معادلات دیفرانسیل معمولی ساده‌سازی شود تا امکان حل کردن معادلات با روش اویلری فراهم باشد. هدف این است که به معادلاتی برسیم که از نظر عددی پایدار باشد تا خطا در داده‌های اولیه صحت نتایج را از بین نبرد. یکی از بهترین روش‌ها برای رسیدن به این هدف روش المان محدود است. اگر نتایج یکنواختی مناسب نداشته باشید، اگر دقت خیلی بالایی در دامنه الزامی نباشد، اگر دامنه متغیر باشد این روش گزینه مناسبی است. در زبان ساده‌تر باید المان‌هایی وجود داشته باشد که قابلیت صرف نظر کردن را به شما بدهد. اگر قرار است پیش‌بینی هوا انجام دهید، المان‌های مشخصی که تمرکز آن‌ها بر آب‌و‌هوای اقیانوس‌هاست اهمیت کمتری نسبت به خشکی‌ها دارد. اگر قرار است نتایج داده‌های مدیریت منابع آب یک حوزه را بررسی کنید، داده‌های جزئی کشت یک رقم خاص که یکنواختی داده‌ها را خدشه‌دار کرده است قابل صرف‌نظر کردن است. انتخاب این روش نیاز به آگاهی علمی بالا در اهداف و شیوه‌های کار خواهد داشت. برای برنامه نویسی متلب برای آنالیز اجزای محدود نیاز است با شیوه‌های آنالیز محدود در درس معادلات دیفرانسیل آشنا باشید.

آشنایی با برنامه نویسی متلب برای آنالیز اجزای محدود

ابتدا به تاریخچه این شیوه بازمی‌گردیم. تاریخچه المان محدود به مسائل مهندسی عمران مربوط است. زمانی که حل مسائل پیچیده الاستیسیته یا مسائل مربوط به تحلیل سازه انجام می‌شود، نیاز به روش‌هایی وجود دارد تا از پس پیچیدگی معادلات برآید. این روش‌ها با تقسیم‌بندی دامنه‌های پیوسته به اجزای زیر دامنه امکان پذیر شد. در واقع همان تقسیم بندی به المان‌های محدود و جزئی. چگونه برنامه نویسی متلب برای آنالیز اجزای محدود و روش المان محدود کار می‌کند؟ این کار با سیستم‌ پیچیده‌ای انجام می‌شود به نام گره و مش. آنچه برنامه‌ریزی برای آن انجام می‌شود مش است. مش شامل خواص و ساختارهایی است که در آن واکنش مش به بارگذاری‌های خاص اهمیت دارد و این واکنش نشان دهنده چگونگی کار سیستم است. گره در واقع بخشی است که بسته به سطح تنش در پیش‎‌بینی از یک منطقه خاص تعیین می‌شود. اگر بخش‌هایی مقدار بالایی از استرس یا همان فشار را داشته باشد باید گره‌ها را افزایش داد و اگر بخش‌هایی، مقدار کمتری از فشار را تحمل کند گره‌ها در آن منطقه کم‌تر خواهد شد. برای شروع کار برنامه نویسی متلب برای آنالیز اجزای محدود باید با نمونه نرم‌افزارهای FEM آشنا شوید.
نمونه نرم افزار FEM و آشنایی با انواع المان محدود در برنامه نویسی متلب برای آنالیز اجزای محدود
نرم افزار کامسول، نرم افزار ال اس دایانا و نرم‌افزار آباکوس سه نرم افزاری است که در زمینه المان محدود کاربرد دارد. نرم افزار انسیس و پلکسیس و در زمینه الکترومغناطیس نرم افزار ماکسول به کار می‌آید. بهتر است پیش از شروع روند برنامه نویسی با انواع المان‌های اجزای محدود آشنا شوید. المان اول خطی است. شاید بتوان گفت المان یک بعدی و فقط با اندازه‌های یک متغیر نمایش داده می‌شود. روی یک خط، دو یا چند گره قرار خواهند داشت. گره‌ها سر و انتهای خط و میانه آن قرار دارند. المان نوع دوم المان دو بعدی است. دو بعد مانند مثلث، مربع، دو بعد که با اندازه‌های X و Y نمایش داده می‌شود. دست کم سه گره در المان سه بعدی وجود دارد زیرا دسته کم سه تقاطع برای خطوط وجود دارد. برای سه ضلعی سه گره و برای هر چند ضلعی به اندازه اضلاع گره حتمی است البته تعداد بیش‌تری میانه اضلاع نیز وجود دارد. دسته سوم المان سه بعدی است. طول و عرض و ارتفاع، سه مولفه بعد فضا که حداقل چهار گره در کمترین حالت برای تقاطع‌های آن وجود دارد. المان آخر را با نام Shell می‌شناسند یا همان آنالیز المان پوسته. دو روش کلی وجود دارد. آنالیز المان پوسته مسطح و یا حالت کلی. در برنامه نویسی متلب برای آنالیز اجزای محدود باید بتوانید ماتریس‌های مربوط به هرکدام از المان‌ها را به خوبی درک کنید.

آشنایی نمونه‌ای از المان‌ها برنامه نویسی متلب برای آنالیز اجزای محدود

مثلث پاسکال یا همان مثلث خیام را به یاد دارید. شاید در دوران دبیرستان برای حل معادلات با درجات بالا روشی را با این نام به خاطر بیاورید. در واقع در این روش شما با المان محدود سروکار دارید. اجزایی که روی اضلاع مثلث پاسکال به شما تجزیه المان‌ها را نشان خواهند داد. به طور مثال در المان دو بعدی شما با دو دسته مثلث و چهارگوش سروکار دارید. در المان مثلثی شما یا سه دسته روبرو هستید. المان سه گره‌ای، المان شش گره‌ای و آلمان ده‌گره‌هی. دیدن تصویر بالا دید کلی به شما خواهد داد که منظور از گره‌ها چیست. ستون اول نشان دهنده اجزای مثلث پاسکال است. در حالت نقطه‌ای، بدون بعد، در حالت سه جزئی دو المان x و y، در 6 جزئی، x و y با توان دو و ضرب دو جزء xy و در 10 جزئی المان‌های معادله درجه سوم نمایش داده شده است. این تصویر المان‌های مثلث دو بعدی را نشان می‌دهد. در برنامه نویسی متلب برای آنالیز اجزای محدود باید با ماتریس‌های مربوط به این المان‌ها آشنا شوید.